SRM 531 Div2 600 NoRepeatPlaylist

問題概要
スマホにN曲の歌が入っている。
これらの曲を組み合わせてP曲のプレイリスト を作りたい。ただしプレイリストは以下の条件を満たす必要がある。
1) すべての曲は最低でも1回はプレイされなければならない
2) 同じ曲をプレイする場合は、最低でも間に別の曲をM曲プレイしなければならない
プレイリストの構成方法のパターン数を求めよ。

解法
よく分からななかったのでとりあえずDPしてみた。

const long long MOD = 1e9 + 7;
int N, M, P;
long long dp[124][124][124];

long long solve(int pos, int cnt, int ng) {
  if (pos == P)
    return cnt == N;
  if (cnt > N)
    return 0;
  if (ng >= N)
    return 0;
  
  long long &ret = dp[pos][cnt][ng];
  if (ret == -1) {
    ret = 0;
    ret += (cnt-ng) * solve(pos+1, cnt, min(ng+1, M));
    ret += (N-cnt) * solve(pos+1, cnt+1, min(ng+1, M));
    ret %= MOD;
  }
  return ret;
}

class NoRepeatPlaylist {
 public:
  int numPlaylists(int N, int M, int P) {
    ::N = N;
    ::M = M;
    ::P = P;
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    return solve(0, 0, 0);
  }
};

より高速な解法
(1)の条件がなければ簡単に計算できることに注目して包除原理する。
N曲以下を使って(2)を満たすパターン数を数える。
これには、N-1曲しか使ってないパターンがあるのでそれを引く....
という感じに足して引いてを繰り返す。

const long long MOD = 1e9 + 7;
long long comb[128][128];

class NoRepeatPlaylist {
 public:
  int numPlaylists(int N, int M, int P) {
    comb[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i < 128; i++) {
      comb[i][0] = comb[i][i] = 1;
      for (int j = 1; j < i; j++)
        comb[i][j] = (comb[i-1][j-1] + comb[i-1][j]) % MOD;
    }

    int sign = 1;
    long long ret = 0;
    for (int i = N; i > 0; i--) {
      long long pat = 1;
      for (int j = 0; j < P; j++)
        pat = pat * max(i-j, i-M) % MOD;
      ret += sign * pat * comb[N][i];
      ret = (ret % MOD + MOD) % MOD;
      sign = -sign;
    }
    return ret;
  }
};