1+2+3+4+5+ ..... = -1/12

最近摩訶不思議な式に出くわした。

1 + 2 + 3 + 4 + ..... = -1/12らしい。

詳しいことは分からないが、様々な物理の分野で使用される式らしい。

証明

S = 1 + 2 + 3 + 4 + ......
S₁ = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ....
S₂ = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 ....

と定義する。

まず、
1 - S₁ = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 ....) = S₁より、 2S₁ = 1となる。
よってS₁ = 1/2が成り立つ。

次に、
S₂ = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 ....
S₂ =      1 - 2 + 3 - 4 + 5 ....

として（下段のS₂が1項右にずれているのがポイント）、両辺を足すと、
2S₂ = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 .... = S₁より、
2S₂ = 1/2となる。よって、S₂ = 1/4が導かれる。

最後に、
S = 1 + 2 + 3 + 4 + .....
S₂ = 1 - 2 + 3 - 4 + .....
として上段から下段の式を引くと、

S - S₂ = 4 + 8 + 12 + 16 + ... = 4Sより、3S = - S_{2となる。
よって、S = -1/12である。}

参考URL

[1] ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12