素数 mod 6

2, 3以外の素数pについて、p mod 6 = ± 1 が成り立つ。

らしい。

証明を考えてみた。
素数pは、以下のいずれかの形式で表すことが出来る。
(a) 6 n
(b) 6 n + 1

(c) 6 n + 2

(d) 6 n + 3

(e) 6 n + 4
(f) 6 n + 5

(a)の場合、pは6で割れるため、pは素数という条件に矛盾。
(c)(e)の場合は2で割れ、(d)の場合は3で割れるため、同様に矛盾。
よって、pは6n + 1、6 n + 5のいずれかの形で表される。

いくつかの素数で試してみる。

5 = 6 * 1 - 1
7 = 6 * 1 + 1
11 = 6 * 2 - 1
13 = 6 * 2 + 1
17 = 6 * 3 - 1
19 = 6 * 3 + 1
23 = 6 * 4 - 1
29 = 6 * 5 - 1
.......