群構造とラテン方格

気になっていた群の性質

　群のoperation tableを見ていてずっと気に成っていたことがありました。ちょうどそれに関する証明問題があったので解いてみました。

For any two elements x and y in G, there is an element z in G such that y = xz.

　上の内容は0以外の実数集合と乗算演算からなる群<R^*, ・>の場合、あたり前のことを言っています。任意の実数x, yについて、z = y/x とすれば、y = xzが成り立ちます。この関係が有限群でも成り立つのかどうかは興味深いです。これまでいくつかの群構造を見てきましたが、そのすべてにおいて上の関係が成り立っていました。

　

　以下考えた証明です。

　Let x be an element in G.

Apply the operator to x with all the elements in G, namely x₁, x₂, .... x_n.

xx₁, xx₂, ....., xx_n　　　(1)

　Since G is closed with respect to the operation, all the above results are belong to G.

If xx_i = xx_j, by canceling x from the both sides, x_i = x_j.So if x_i ≠ x_j, then xx_i ≠ xx_j holds.

　Therefore, it comes down to that (1) is a permutation of x₁, x₂, ....., x_n,

which follows that for any x and y G, there is an element z such that y = xz.

ラテン方格とは？

　証明を考えているときに、これってラテン方格だよなーと思って調べてみました。ラテン方格とは、n*nの格子でどの列を見てもどの行を見ても[1, n]の値が1回ずつ出てくるような格子です。

　

群構造とラテン方格の関係

群構造を持つ代数系のoperation tableを書くとラテン方格になります。上の証明で行に関してはpermutationになっていることを示しています。列に関しても同様に示すことができます。

　ここでもう一つ疑問がわきました。「operation tableがラテン方格になるように演算を定義すれば、それは必ず群になるのか？」ということです。wikipediaのページに反例が載ってました。

operation tableがラテン方格でも、必ずしも群にはならないようです。この群のようで群じゃない代数構造をquasigroup（日本語だと準群??）と呼ぶそうです。また、identity elementを持つ quasigroup をloopと呼ぶそうです。