平方数について

平方数について簡単なまとめ。

1.平方数とは？

整数の二乗で表すことのできる数のこと。0, 1, 4, 9, 16, ...と続く。

2. ２つの平方数の和

２つの平方数の和に関しては、フェルマーのクリスマス定理が有名。この定理では奇素数が２つの平方数の和で表すことができるか否かについて述べられているが、

(x₁² + y₁²)(x₂² + y₂²) = (x₁x₂ - y₁y₂)² + (x₁y₂ + y₁x₂)²

の公式より、一般の自然数nについて以下のことが言える。

n = n₁² * n_2, ただし、n₂は法4の下で3と合同な奇素数を因数にもたない。

と分解できる場合、nは２つの平方数の和で表すことができる。上記のように分解できない場合は２つの平方和で表すことはできない。

3. ３つの平方数の和

３つの平方和ですべての自然数を表すことができるか？答えはできない。法8の下で7と合同な自然数は３つの平方数の和で表すことはできない。なぜなら、平方数は8を法として{0, 1, 4}のいずれかと合同になるが、これらの任意の３つの組み合わせの和は7と合同になりえないからである。

4. ４つの平方数の和

4つの平方数の和を用いれば、2. および3.で表すことができなかった自然数を表すことができる。

7 ≡ 3 (mod 4)および7 ≡ 7 (mod 8)より、7は２つの平方数の和でも３つの平方数の和でも表すことができない。しかし、

7 = 1+1+1+4

と4つの平方数の和で表すことができる。

すべての自然数は、４つ以下の平方数の和で表すことができる。定理の名前は知らなかったが、「ラグランジュの四平方定理」というらしい。